若复数z1、z2是方程ax^2-2x+a=0的两个根，a>1

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 14:14:02
（1）当a变化时，在复平面内，z1、z2对应的点A、B在什么曲线上运动？（2）若AOB为等边三角形，求a

要过程~~

利用求根公式:
z1 = [ 1 + i√(a^2-1)]/a
z2 = [ 1 - i√(a^2-1)]/a

对于 和 z1 相关联的 点A
x=1/a
y=√(1 - 1/a^2)
显然
x^2 + y^2 = 1
因为 a > 1
所以 0<x<1
同时 y =√(1 - 1/a^2) > 0
因此 点A 的轨迹 是 圆 x^2 +y^2 =1 在第一象限的部分

同理,对于和z2相关联的点B
x^2 + y^2 =1
0<x<1 且 y<0
因此点B 轨迹是 x^2 + y^2 =1 在第四象限的部分

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因为上述两圆的半径均为1,所以 OA=OB=1
因为是等边,所以 AB=1
即

√(1 - 1/a^2) - { -√(1 - 1/a^2)} =1
√(1 - 1/a^2) = 1/2
1 - 1/a^2 = 1/4
1/a^2 = 3/4
a^2 = 4/3
a = 2/√3